CCP 2013. Option MP. Math´matiques 1. e Corrig´ pour serveur UPS par JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e Exercice 1 : une s´rie de Fourier. e 1) • f est une fonction en escalier (p´riodique) donc continue par morceaux et de classe C 1 par morceaux. En outre e f est sa propre r´gularis´e de Dirichlet i.e. 2f (x) = f (x+ ) + f (x− ) pour tout r´el x. Donc, d’apr`s le th´or`me de e e e e e e
Dirichlet de convergence simple, la s´rie de Fourier de f converge simplement sur R vers f (x). e +∞

• Comme f est impaire sa s´rie de Fourier s’´crit e e avec bn = 2 ×
• Ainsi

4 π 1
2π

π

sin(nt)f (t) d t =
−π

2 π π

bn sin nx n=1 sin nt d t =
0

2
4
(1 − (−1)n ) de sorte que b2n = 0 et b2n+1 =
(2n + 1)π nπ +∞

sin(2n + 1)x
= f (x) pour tout r´el x e 2n + 1 n=0 2. En particulier pour x =

π il vient
2

+∞

π
(−1)n
=
2n + 1
4
n=0

Par ailleurs l’´galit´ de Parseval fournit f e e

2
2

=

1 +∞ 2 b avec f
2 n=0 2n+1

2
2

=

1
2π

π

f (t)2 d t =
−π

π

1 π dt = 1
0

1 π2 2 =
8
n=0 (2n + 1)
+∞

Ainsi

Exercice 2 : un syst`me diff´rentiel. e e
1. Il vient χA (X) = (X − 2)2 de sorte que B = A − 2I2 est nilpotente par le th´or`me de Cayley-Hamilton. e e
Il en d´coule que exp(tB) = I2 + tB = (1 − 2t)I2 + tA puique B 2 = 0 de sorte que e +∞ tn B n

n=2

n!

= 0.

Il en r´sulte que exp(tA) = e2t (1 − 2t)I2 + tA e 2. Par r´sultat de cours, la solution du probl`me de Cauchy du syst`me diff´rentiel lin´aire ` coefficients constants e e e e e a propos´ est X(t) = exp(tA)X0 . e 1 − 3t
2 + 3t

On obtient ainsi X(t) = e2t

Probl`me : s´ries de Taylor et d´veloppements en s´rie enti`re. e e e e e +∞
1
= xn pour x ∈] − 1, 1[ et, par d´rivation terme ` terme d’une s´rie enti`re dans l’intervalle ouvert e a e e
1 − x n=0
+∞
1 pour tout x ∈] − 1, 1[. de convergence, on obtient nxn−1 =
(1 − x)2 n=1 1. On a

A