Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998

E XERCICE 1

5 POINTS

Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.
1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l’urne. a. On suppose ici n = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la probabilité notée p n , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis. 2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le second.
a. On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de Y .
b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la probabilité, notée q n d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. 3.

a. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 3, on a : p n − qn =

4(n − 2) n 2 (n − 1)

b. En remarquant que pour tout entier n, n − 2 est inférieur à n − 1, déterminer un entier naturel n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0 , on ait p n − q n < 10− 3 .
c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’un après l’autre en remettant le premier billet tiré ?

Exercice 2

5 points

→
− →
−
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v , (unité
1
3
−i
. Pour
2
2 chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1 , désigne l’image de M par la roπ tation de centre O et d’angle , puis M ′ d’affixe z ′ l’image de M1 par la translation
3
de vecteur − u. Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M ′ .

graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes