Premi`re ann´e D.E.U.G. M.A.S.S. 2003 − 2004 e e

Math´matiques : Analyse e
Contrˆle continu n◦ 2, janvier 2004 o
Examen de 1 h 30. Tout document ou calculatrice est interdit.

1. On consid`re une fonction f : Df = [a, b] ⊂ IR → IR, avec a < b. e (a) On suppose dans cette question que f est une fonction croissante. Rappeler la d´finition e de cette propri´t´. Soit x0 ∈ [a, b]. Montrer que pour tout suite (un )n∈IN ` valeurs dans ee a [a, x0 [, croissante et convergeant vers x0 , la suite (f (un ))n∈IN converge vers une limite l ∈ IR. En d´duire (` l’aide d’une d´monstration faisant intervenir ε > 0) que f admet e a e une limite ` gauche en x0 , puis que f admet une limite ` droite en x0 . La fonction f a a est-elle continue en x0 ? (justifier la r´ponse). e (b) On suppose maintenant que pour tout x0 ∈ [a, b], il existe c ≥ 0 (pouvant d´pendre de e x0 ) tel que ∀x ∈ [a, b], f (x) ≥ f (x0 ) + c(x − x0 ). (2)

Montrer qu’alors f est croissante. Soit (x1 , x2 ) ∈ [a, b]2 , x1 < x2 et soit λ ∈ [0, 1]. En utilisant deux fois la propri´t´ (2) avec x0 = λ · x1 + (1 − λ) · x2 , montrer que pour tout ee λ ∈ [0, 1], f (λ · x1 + (1 − λ) · x2 ) ≤ λ · f (x1 ) + (1 − λ) · f (x2 ). (3)

Que d´crit x0 = λ · x1 + (1 − λ) · x2 lorsque λ varie dans [0, 1] ? En d´duire une e e caract´risation g´om´trique la courbe Cf : y = f (x) ` partir de la propri´t´ (3) (faire e e e a ee un dessin). 2. On consid`re les trois fonctions e f1 (x) = ln x2 + ex , f2 (x) = E(x) − √ x et f3 (x) = x + 2x3 4x2 + 1

(E(x) d´signant la partie enti`re de x). Comparer (en justifiant) deux ` deux ces trois e e a fonctions en 0 et en +∞ ` l’aide des notions de fonctions ”´quivalentes” (∼), ”n´gligeables a e e devant” (o(.)) et ”born´es par” (O(.)). e

Premi`re ann´e D.E.U.G. M.A.S.S. 2003 − 2004 e e

Math´matiques : Analyse e
Examen Final, janvier 2004
Examen de 3 h 00. Tout document ou calculatrice est interdit.

1. D´terminer, en justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :