Exercices - Anneaux

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Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0.
1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0.
2. Remarquons d’abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D’après la formule du n+m k n+m−k binôme, (x+y)n+m = n+m x y
. Mais, pour k ≥ n, xk = 0 =⇒ xk y n+m−k = k=0 k
0. D’autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc y n+m−k = 0 =⇒ xk y n+m−k = 0.
Ainsi, (x + y)n+m = 0. On pourrait même se contenter de prendre la puissance n + m − 1.
3. L’idée est d’utiliser l’identité remarquable (toujours valable dans un anneau)
1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1 ).
Si on l’applique pour p = n, alors on obtient
1 = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 ) ce qui implique que 1 − x est inversible d’inverse 1 + x + · · · + xn−1 .
4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors
(vu)n+1 = v(uv)n u = v × 0 × u = 0.
Ainsi, vu est nilpotent.

Exercice 2 - Anneau de Boole - L2/L3/Math Spé 1. On applique la propriété à l’élément x + x. Il vient x + x = (x + x)2 = x2 + x2 + x2 + x2 = x + x + x + x.
Après simplification, on trouve x + x = 0, soit x = −x.
2. Soient x, y ∈ A. On doit prouver xy = yx. Appliquons la propriété à l’élément x + y. On a (x + y) = (x + y)2 = x2 + y 2 + xy + yx = x + y + xy + yx.
Après simplification, on trouve xy + yx = 0 soit xy = −yx, soit xy = yx en appliquant le résultat de la question précédente.

Exercice 3 - Un anneau d’entiers - Math Spé/L2/L3 √
1. Il suffit de prouver que c’est √ un sous-anneau
√ de (R, +, ×). Mais Z[ √2] est
– stable par la loi + : (a + b 2) + (a + b 2) = (a + a ) + (b + b ) 2.
– stable par la loi × :
√
√
√
(a + b 2) × (a + b 2) = (aa + 2bb ) + (ab + a b) 2
.
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√
√
– stable par passage à l’opposé −(a + b 2) = −a + (−b) √2.
√
De plus, 1 ∈ Z[ 2], ce qui achève la preuve du fait que Z[ 2] est un sous-anneau de R.
√
√
2. Posons x = a + b 2 et y = a + b 2. En tenant compte de la formule pour le