Amérique du Nord
Exercice 1 : (4 points) 1. a)
→

Juin 2010

Série S Corrigés

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Commun à tous les candidats

Coordonnées de AB : (– 3, – 4, 1) → Coordonnées → AC→ 5, 2, – 7) de : (– → → Les coordonnées de AB et AC ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Ils définissent donc un plan b)
→ → → →

n .AB = 1 × (– 3) – 1 × (– 4) – 1 × 1 = – 3 + 4 – 1 = 0 n .AC = 1 × (– 5) – 1 × 2 – 1 × (– 7) = – → 2 + 7 = 0 5 – → → Le vecteur → n est donc orthogonal aux vecteurs AB et AC qui ne sont pas colinéaires, donc le  vecteur n (1 , – 1 , – 1) est un vecteur normal au plan (ABC). c) n (1 , – 1 , – 1) est un vecteur normal au plan (ABC) donc une équation du plan (ABC) est : x – y – z + d = 0 avec d réel. A ∈ (ABC) donc 1 + 2 – 4 + d = 0 soit d = 1 Une équation du plan (ABC) est : x – y – z + 1 = 0 2. a) La droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC) à pour vecteur directeur un → vecteur normal au plan (ABC). Donc n est un vecteur directeur de cette droite. → Une représentation paramétrique de la droite ayant pour vecteur directeur n et passant x=t  par le point O est :  y = – t , t ∈ I R. z=–t  On notera D cette droite pour la suite de l’exercice. b) Le point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) est le point d’intersection de la droite D avec le plan (ABC), car D est orthogonale au plan (ABC) et passe par O.
→

O’(x, y, z) = D ∩ (ABC)

 –  x = y – z + 1 = 0  tx+ tt+ t + 1 = 0  x t = ⇔y=–t ⇔y=–t ⇔ z=–t z=–t  
1 1 1 , , ). 3 3 3
→

1 3 1 x=– 3 1 y= 3 1 z= 3 t=–

Les coordonnées du point O’ sont (– 3. Soit t le réel tel que BH = t BC.. a) BO. BC = (→ → → → BH + HO). BC = BH. BC + HO. BC
→ → → → → → → →

HO. BC → car H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). =0 → BH = t BC. → →  2 → → → → BO.BC Donc : BO. BC = t BC. BC