Correction du baccalauréat S Asie 18 juin 2008

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats A -Vrai ou faux ? 1. Faux : contre-exemple : il suffit de prendre P 1 et P 3 perpendiculaires à P 2 . 2. Faux : contre-exemple : on reprend l’exemple précédent.

4 points

3. Vrai : si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre. 4. Faux : P 1 et P 2 sont parallèles : si la droite D est incluse dans P 1 elle n’est pas sécante avec P 2 . B - Intersection de trois plans donnés → − → − 1. Le vecteur n 1 (1 ; 1 ; −1) est normal à P 1 , n 2 (2 ; 1 ; 1) est normal à P 2 et ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : les deux plans sont donc sécants. Il faut résoudre :   x = −3z + 3 + z x+y −z = 0 x+y −z = 0 y = 3z − 3 ⇐⇒ ⇐⇒  2x + y + z − 3 = 0 −y + 3z − 3 = 0 z = z
  x y ⇐⇒  z

= = =

−2t + 3 3t − 3 t

qui est une représentation paramétrique de la droite ∆ commune aux plans P 1 et P2 2. Un point de ∆ appartient à P 3 si et seulement si : −2t + 3 + 2(3t − 3) − 4(t ) + 3 = 0 ⇐⇒ −2t + 6t − 4t + 3 − 6 + 3 = 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P 3 . Conclusion : P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 = ∆

E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence 2 3 2 a. On a p (E 1 ) = , p E 1 (E 2 ) = et p E 1 (E 2 ) = . 5 5 5 D’après la formule des probabilités totales appliquée à E 1 et à E 1 :

5 points

p (E 2 ) = p (E 1 ∩ E 2 ) + p E 1 ∩ E 2 = p (E 1 ) × p E 1 (E 2 ) + p E 1 × p E 1 (E 2 ) = 2 6 6 12 2 2 3 × + 1− + = = 0, 48. × = 5 5 5 5 25 25 25 b. Arbre pondéré :

Baccalauréat S
3 5

A. P. M. E. P.

1 − p (E n )

J V J

J
2 5 2 5

p (E n )

V
3 5

V 2 3 D’après la loi des probabilités totales on a p (E n+1 ) = 1 − p (E n ) + p (E n ) = 5 5 2 1 + p (E n ) . 5 5 2. Étude d’une suite a. Démonstration par récurrence : 2 1 – Initialisation : u1 = < : vrai ; 5 2 – Hérédité : supposons que un <

1 1 1 ; alors un < ⇐⇒ 2 5