Sujet 1, Sujet national, juin 2011, Exercice 4

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j, k).
Partie A

On désigne par P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et par M0 le point de coordonnées
(x0 ; y0 ; z0 ). On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P.
On suppose connue la propriété suivante.
Propriété : Le vecteur n = ai + bj + ck est un vecteur normal au plan P.
Le but de cette partie est de démontrer que la distance d(M0 , P) du point M0 au plan P, c’est-à0 +by0 +cz0 +d| dire la distance M0 H, est telle que : d(M0 , P) = |ax√
.
a2 +b2 +c2
√
−−→
1 Justifier que |n · M0 H| = M0 H a2 + b2 + c2 .
−−→
2 Démontrer que n · M0 H = −ax0 − by0 − cz0 − d.
3 Conclure.
Partie B

On désigne par A, B, C et F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6) et (−7 ; 0 ; 4).
1 a) Démontrer que les points A, B et C définissent un plan P et que ce plan a pour équation cartésienne x + 2y − z − 1 = 0.
b) Déterminer la distance d du point F au plan P.
2 Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode.
On appelle ∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P.
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P.
c) Retrouver le résultat de la question 1. b).
3 Soit S la sphère de centre F et de rayon 6.
a) Justifier que le point B appartient à la sphère S.
b) Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle C, intersection de la sphère S et du plan P.

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Maths Term S

Le sujet Pas

à pas

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Thèmes du programme

Produit scalaire dans l’espace, représentation paramétrique d’une droite, définition d’une sphère, équation cartésienne d’un plan, théorème de Pythagore.
Produit scalaire :
• Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre réel noté u · v défini par : u · v = 12 u + v 2 − u 2 − v 2 u · v = u × v cos α ou, si α est une mesure de