Baccalauréat S − Liban − 11 juin 2009
Corrigé
Exercice 1 3 points
Bien que cela ne soit pas demandé dans l’énoncé, les affirmations sont ici démontrées.
1. On a p(A) =
3
5
, donc p(A)=
2
5
. De plus A et B sont indépendants, donc p(A∩B) = p(A)×p(B).
On a : p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B) = p(A)+p(B)−p(A)×p(B)= p(B)×
¡
1−p(A)
¢
+p(A)
On en déduit : p(B) = p(A∪B)−p(A) 1−p(A) =
4
5 −
2
5
1−
2
5
=
2
3
. La réponse correcte est donc b..
2. On a p(X > 5) = 1−p(X 65) = 1−
Z5
0
0,04e−0,04x dx = 1−
£
−e−0,04x ¤5
0 = 1−
¡
−e−0,04×5−e0¢
= e−0,2 ≈ 0,82.
La bonne réponse est donc la proposition d..
3. Soit C l’événement : « je sorsmon chien » et P l’événement "« il pleut ». P et P forment une partition de l’univers, donc j’utilise la formule des probabilités totales : p(C)= pP (C)×p(P)+pP (C)×p(P) =
1
10 ×
1
4 +
9
10 ×
3
4 =
28
40 =
7
10
On en déduit pC
³
P
´
= p ³
P ∩C
´
p(C) = pP (C)×p
³
P
´
p(C) =
9
10 ×
3
4
7
10
=
27
28
. La bonne réponse est donc d..
Exercice 2 8 points
1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y
C
(D)
(T)
Partie A
1. a. On a lim x→+∞ e−x = 0, donc lim x→+∞ 1+e−x = 1 donc lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0 donc lim x→+∞ f (x) = +∞
b. Comme f (x)−
1
3 x = ln(1+e−x ) et que lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0, on en déduit que la droite (D) est asymptote à (C ) au voisinage de +∞.
c. Comme f (x)−
1
3 x = ln(1+e−x ) et que ∀x ∈ R, {−x} > 0, on a 1+e−x > 1 et donc ln(1+e−x ) > 0, dont on déduit que l’asymptote (D) est en dessous de la courbe (C ) sur R.
d. Soit x un réel. On a f (x) = ln(1+e−x )+
1
3 x = ln µ 1+
1
ex
¶
+
1
3 x = ln µ ex +1 ex ¶
+
1
3
x = ln(ex+1)−ln(ex )+
1
3 x = ln(ex+1)−x+
1
3 x soit f (x) = ln(ex +1)−
2
3 x e. On a lim x→−∞ ex = 0 donc lim x→−∞ ex +1 = 1, donc lim x→−∞ ln(ex +1) = 0 et comme par ailleurs, lim x→−∞− 2
3
x = +∞, on en déduit lim x→−∞ f (x) = +∞
2. a. f est dérivable en tant que composée d’une fonction x 7−→ex