EXERCICE 2 (6 points ) (Commun à tous les candidats)

Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle [0; +∞[ par : f (x) = xe−x et g(x) = x2 e−x . On note Cf et Cg les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan complexe muni d’un → − − → repère O, i , j . Partie A → − − → La courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère O, i , j est donnée ci-dessous.

− → j Cf − → i

O

1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en +∞ ? 2. Valider ces conjectures à l’aide d’une démonstration. 3. Tracer sur la figure jointe (à rendre avec la copie) la courbe Cg représentative de la fonction g. 4. Quelle semble être la position relative de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg ? Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. Partie B L’objectif de cette partie est de calculer, en unités d’aire, la mesure de l’aire A de la partie du plan comprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équations x = 0 et x = 1. 1. Colorier sur la figure cette partie du plan.
1

2. Soit I =
0

2 f (x) dx. Démontrer que I = 1 − . e

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3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit H la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par : H(x) = −(x2 + 2x)e−x . a. Calculer la dérivée H de la fonction H. b. En déduire une primitive sur l’intervalle [0; +∞[ de la fonction g. 4. Déterminer la valeur exacte de l’aire A .

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