Calcul Barycentrique
Z, auctore

31 octobre 2005

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Introduction

Deux masses, l’une de 3 kg et l’autre de 7kg, sont fix´es aux extr´mit´s e e e d’une barre comme repr´sent´ ci-dessous. e e

A
3 kg

G

B
7 kg

Le point d’´quilibre G de cette barre est le point o` s’´quilibrent les forces e u e exerc´es par ces masses ; celui-ci doit ˆtre tel que e e − → − − → 3 GA = −7 GB C’est-`-dire a − → − − → 3 GA + 7 GB = 0 − → AG = − → AB.

ce qui se traduit (apr`s calculs) par e
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Cette ´galit´ d´termine parfaitement la position d’´quilibre de la barre. e e e e

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D´finitions e

Soient (A ; a) et (B ; b) deux points points pond´r´s - c’est-`-dire affect´s e e a e d’un coefficient : a est le coefficient de A, b est celui de B. Th´or`me 1 Si a + b = 0, alors il existe un unique point G tel que e e − → − − → a GA + b GB = 0. D´finition 1 Lorsqu’il existe, ce point G unique est appel´ barycentre du e e syst`me de points pond´r´s (A ; a) et (B ; b). e e e Remarque. Lorsque a + b = 0, il n’est pas possible de d´finir le barycentre e de (A ; a) et (B ; b). On retiendra, lorsque a + b = 0 − → − − → G = bary{(A ; a) ; (B ; b)} ⇔ a GA + b GB = 0 Le th´or`me et la d´finition s’´tendent au cas d’un syst`me de trois points e e e e e pond´r´s (A ; a), (B ; b) et (C ; c), lorsque a + b + c = 0. Dans ce cas, on a ee l’existence et l’unicit´ du point G tel que e − → − − → − → a GA + b GB + c GC = 0. De la mˆme mani`re, si a + b + · · · + n = 0, alors il existe un et un seul point e e G tel que − → − − → −→ − a GA + b GB + · · · + n GN = 0.

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Propri´t´s e e

Propri´t´ 1 (Position) Pour a + b = 0, G est le barycentre de (A ; a) et e e (B ; b), si, et seulement si − → AG = De mˆme, on a e − − → BG = a a+b b a+b

− → AB

− → BA.

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Le barycentre de deux points A et B est donc align´ avec ceux-ci ; inversee ment, tout point situ´ sur la droite (AB) peut ˆtre vu comme un