Barycentre
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BARYCENTRE DE 2 POINTSPONDÉRÉS (ET PLUS ...)
Motivation : sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids M ?
150 kg
M=?
6m
2m
1. Barycentre de deux points pondérés : définition
Définition 1
En toute rigueur, il faudrait
Soient a et b deux réels tels que a + b ¹ 0.
au préalable prouver l'existence et l'unicité d'un tel
On appelle barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b) le point G défini par :
®
®
®
a GA + b GB = 0
point G. Voir le cours de terminale pour cette preuve.
Physiquement, G est le point d'équilibre de la balance [AB] munie de masses a et b. Mathématiquement, la notion est étendue à des coefficients qui peuvent être négatifs.
Exemple 1 :
Soit [AB] un segment. Construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2).
®
®
®
3 GA + 2 GB = 0
Le point G est donc tel que :
Malheureusement, cette relation ne nous donne pas directement d'informations sur la position de G.
Transformons avec la relation de Chasles :
®
®
®
®
3 GA + 2 GA + 2 AB = 0
®
2 ®
AG =
AB
5
D'où :
Pour placer G, il suffit de diviser le segment [AB] en 5 parties de longueurs égales :
A
Solution du problème de motivation :
Adoptons les notations suivantes :
G
B
2
6
T
G
P
On a :
®
®
®
M GT + 150 GP = 0
®
®
Or GT = -3 GP d'où :
®
®
(-3M + 150) GP = 0
®
®
Comme GP ¹ 0 :
D'où :
Barycentre
On utilise ici la propriété suivante : r -3M + 150 = 0
r
r
r
a u = 0 Þ (a = 0 ou u = 0 )
M = 50 kg
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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Exemple 2 :
®
1 ®
Soit G le point d'un segment [AB] tel que AG =
AB .
4
G est-il le barycentre de A et B munis de certains coefficients ?
On a :
®
®
®
4 AG = AG + GB
®
®
®
3 GA + GB = 0
Donc :
G est le barycentre de (A, 3) et (B, 1)
Cas particuliers :
®
®
®
®
· Si a = 0 alors b GB = 0 et comme b ¹ 0, on a GB = 0 d'où : G = B
® ®
® ®
· Si b = 0 alors a GA = 0 et comme a ¹ 0, on a GA = 0 d'où : G = A
®
®
®
· Si a = b alors GA + GB = 0 , ce qui signifie que G est le milieu de [AB]. (On dira dans ce cas que G est