Devoir surveill´ de g´ om´ trie e e e
ˆ Sujet A. Dur´ e 2h. Les exercices sont ind´ pendants et peuvent etre trait´ s dans n’importe quel ordre. Une dur´ e e e e e ` (plutˆ t optimiste...) est fournie a titre indicatif. Il n’est pas n´ cessaire de traiter tout le sujet pour avoir la note maximale. o e Exercice 1: Trigonom´ trie√ √ e (30mn) π π π e On rappelle que cos( 12 ) = 2+ 6 . En d´ duire les valeurs suivantes : sin( 12 ), tan( 12 ), cos( −π ), sin( 11π ) , sin( 5π ), 4 12 12 12 23π tan( 12 ). Placer les points correspondants sur un cercle trigonom´ trique. e Exercice 2: Angles (30mn) a) Rappeler la relation liant (u, v) et (u, −v), pour tous vecteurs u et v non nuls. Faire un dessin. b) Soit ABCD un quadrilat` re quelconque. Montrer que (AB, AD) + (DA, DC) + (CD, CB) + ( BC, BA) = 0 + 2πZ. e Indication : utiliser la relation pr´ c´ dente pour chaque angle de la somme. e e c) Dans le quadrilat` re ci-dessous, calculer l’angle (AD, AC). e
A D

B

C

Exercice 3: Produit scalaire (20mn) ` Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 2AC. Soit D le sym´ trique de C par rapport a A, et K le point e tel que AK = 1 AB. On notera l la distance AC. 4 a) Faire une figure. b) Prouver que (CK) ⊥ (BD). On pourra faire intervenir un rep` re orthonorm´ bien choisi et calculer les coordonn´ es e e e des diff´ rents points. e Exercice 4: Les hauteurs d’un triangle sont concourantes (30mn). Soit ABC un triangle. a) Prouver pour tout point M du plan la relation suivante : MA. BC + MB.CA + MC.AB = 0. ´ Indication : utiliser les egalit´ s MB = MA + AC et MC = MA + AC, d´ velopper, puis factoriser par MA. e e ´ b) Prenons maintenant M l’intersection des hauteurs issues de A et de B. Montrer que M est egalement sur la hauteur issue de C. Quel r´ sultat avez-vous prouv´ ? e e Exercice 5: Le probl` me des professeurs de math´ matiques (bonus) (30mn) e e ´ ` ´e Un professeur de math´ matiques voudrait poser une equation du type a cos2 (θ) + b cos(θ) + c = 0 a ses el` ves. Il