Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010
EXERCICE 1 : (12 points)
A. Loi binomiale 1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités : ● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité = ● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité donc suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87. × 0,87 × 0,13 = 1 × 0,87 × 1 ≈ 0,328 2° =8 = La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328. 3° ≥7 = =7 + =8 = × 0,87 × 0,13 + × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 =
,

=1−

= 0,87

= 0,13

;

suit

29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 =Π 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : − 874 880,5 − 874 ≥ 880,5 = ≥ = 10,5 10,5 = 0,2676 ≈ 0,27 C. Etude d'une suite 1° Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1 + = 1,2

859,5 ≤

− 874 890,5 − 874 ≤ = 10,5 10,5

0 ;1 .

−

= Π 1,57 − 1 + Π 1,38

29 ≤ 21

≤

11 7

≥

13 13 =1−Π ≈ 1 − Π 0,62 = 1 − 0,7324 21 21

Ainsi, la capacité mondiale prévue pour 2009 est : 120 791 × 1,2 = 144 949,2 MW La capacité mondiale prévue en 2010 est : 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant. 2° a La suite = 1,2 Autrement dit : on a pour tout entier naturel : b = × = 120 791 × 1,2 3° a 250 000 1,2 ≥ 120 791 ln 1,2 ≥ ln car ln est une fonction croissante

ln 1,2 ≥ ln

≥ b Le plus petit entier vérifiant 1,2

,

≈ 3,99

250 000 120 791 car ln 1,2 > 0 ≥ est 4.

Or, d'après la question a cette inéquation admet pour solution ≥ 4. Ainsi à partir de l'année 2012 = 2008 + 4 la capacité