BE

TD 2

Accélération pendulaire

Pour palier au manque d'amortissement du système précédent, un autre dispositif est mis en place : l'accéléromètre pendulaire.

Nous nous intéressons maintenant à l'accéléromètre pendulaire suivant :

(schéma)

Il est composé d'un cylindre d'inertie I avec un balourd de masse m, situé à une distance r de son axe. Deux moment s'opposent à la rotation de cet axe : celui d' un ressort de raideur k, et celui d'un frottement visqueux de coefficient f.

Nous allons étudier la réponse de ce système à une entrée en échelon.

Dans un premier temps, établissons l'équation d'accélération angulaire du balourd.

1) La première étape consiste à calculer la fonction de transfert reliant a à

Utilisont la transformée de Laplace sur l'équation d'accélération anglaire.
En considérant les conditions initiales nulles, on a :

et

On en déduit : d'où la relation :

Nous pouvons donc écrire la fonction de transfert sous la forme :

Avec , et

2) Nous connaissons la précision du dispositif de lecture utilisé ici : une seconde de degré. On souhaite mesurer de très fable accélération, de l'ordre de .
Le temps de réponse doit être faible. En effet, il est indispensable d'avoir une information presque instantanée dans le cas de la navigation, afin de pouvoir corriger rapidement sa position. Nous souhaitons donc avoir un temps de réponse tr inférieur à 50ms.
On connait également l'inertie I du cylindre, ainsi que le produit de la masse du balourd et de sa distance à l'axe : m.r = 0,03 kg.m.

Fort de ces informations, nous cherchons les valeurs de K et de f.

On sais que :

et
Or, la relation entre ces deux entités est : donc

De cette relation, nous trouvons une borne supérieure à la constante de raideur :

=>

Nous prendrons k égal à cette valeur.

Cherchons à présent la valeur de f. Nous savons que ce coefficient est défini par :

Nous