Exo7

Arithmétique
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❊①❡r❝✐❝❡s
❆r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❛♥s Z

Préambule
Une motivation : l’arithmétique est au cœur du cryptage des communication. Pour crypter un message on commence par le transformer en un –ou plusieurs– nombres. Le processus de codage et décodage fait appel à plusieurs notions de ce chapitre :
– On choisit deux nombres premiers p et q que l’on garde secrets et on pose n = p × q. Le principe étant que même connaissant n il est très difficile de retrouver p et q (qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres).
– La clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide de l’algorithme d’Euclide et des coefficients de Bézout.
– Les calculs de cryptage se feront modulo n.
– Le décodage fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat.

1. Division euclidienne et pgcd
1.1. Divisibilité et division euclidienne
Définition 1
Soient a, b ∈ Z. On dit que b divise a et on note b|a s’il existe q ∈ Z tel que a = bq
.
Exemple 1
–
–
–
–
–
–

7|21 ; 6|48 ; a est pair si et seulement si 2|a.
Pour tout a ∈ Z on a a|0 et aussi 1|a.
Si a|1 alors a = +1 ou a = −1.
(a| b et b|a) =⇒ b = ±a.
(a| b et b| c) =⇒ a| c.
(a| b et a| c) =⇒ a| b + c.

1

2

Théorème 1. Division euclidienne
Soit a ∈ Z et b ∈ N \ {0}. Il existe des entiers q, r ∈ Z tels que a = bq + r

et

0

r<b

De plus q et r sont uniques.

Nous avons donc l’équivalence : r = 0 si et seulement si b divise a.
Exemple 2
Pour calculer q et r on pose la division «classique». Si a = 6789 et b = 34 alors
6789 = 34 × 199 + 23
On a bien 0

23 < 34 (sinon c’est que l’on n’a pas été assez loin dans les calculs).
6789
34
338
306
329
306
23

34

dividende

199

diviseur quotient reste

Démonstration
Existence. On peut supposer a 0 pour simplifier. Soit N = n ∈ N | bn a . C’est un ensemble non vide car n = 0 ∈ N . De plus pour n ∈ N , on a n a. Il y a donc un nombre