Chapitre 4 - les applications linéaires

Rétour sur le cours du 29 X 2007

► Définition
● Soient E et F deux espaces vectoriels sur IR, et soit f(.) une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si l’on a :
(X(E, (Y(E, (α ( IR, (β ( IR, f(αX+ β Y) = αf(X)+ βf(Y).

● L’application f1(.), par exemple, de IR² dans IR², définie par f1 = , est une application linéaire. En effet, (( IR², (( IR², (α ( IR, (β ( IR, on a : f1 = αf1 + βf1.
Vérification : αf1 + βf1 = α + β = et f1 = f1 = = .

► Représentation matricielle d’une application linéaire
● On peut écrire f(X) sous la forme MX, où M est une matrice dont les colonnes sont les images par f(.) des vecteurs de la base canonique de son espace de départ.
Pour cette raison, on dit que M est la matrice de f(.) par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée et l’on a : f(X) = MX.
Le format de M est (dimension de l’espace d’arrivée de f(.), dimension de l’espace de départ de f(.))

● Exemple 1 : Matrice de l’application linéaire f1(.) définie plus haut f1 = = + = x + y.
D’où f1 = [1].
M1 = est la matrice représentant f1(.) par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée.
Pourquoi « par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée » ? Et bien parce que, comme f1(.) est linéaire, on a : f1 = f1 = xf1 + yf1.
D’où f1= .
Par identification avec [1] on voit donc que M1 = = .
La ième colonne de la matrice M1 est l’image par f1(.) du ième vecteur de la base canonique de l’espace de départ de f1(.)[1]. En outre, les coordonnées de ce vecteurs sont données dans la base canonique de l’espace d’arrivée de f1(.). C’est la raison pour laquelle on dit que M1 représente f1(.) par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée.

● Exemple 2 : Matrice de l’application linéaire f2(.), de IR3 dans IR², définie par : f2 = . f2 = = x + y + z = .
M2 = est donc la matrice représentant