R OYAUME DU M AROC
´ Minist` re de l’Education Nationale e et de la Jeunesse Minist` re de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs e
Session 2004

´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES I
Dur´ e 4 heures e

Concours MP

Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde ´ L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2004 – MP L’´ nonc´ de cette epreuve, particuli` re aux candidats du concours MP, e e ´ e comporte 4 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´s que la pr´cision des raisonnements ainsi que le soin apport´ a la r´daction e e e ` e seront des el´ments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le r´sultat ´e e d’une question non r´solue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec e pr´cision les r´ f´ rences des questions abord´es. e ee e

D´ finitions et notations e
Dans tout le probl` me, par “solution d’une equation diff´ rentielle”, on fait r´ f´ rence aux solutions e ´ e ee a valeurs r´elles d´finies sur R. ` e e Si f est une fonction continue sur R a valeurs r´ elles, on lui associe l’´ quation diff´ rentielle ` e e e y ′ − y + f = 0. (Ef )

Le but du probl` me est d’´ tudier des conditions d’existence de solutions born´ es de l’´ quation e e e e diff´ rentielle (Ef ), et lorsque ces conditions sont remplies, certaines propri´ t´ s des ces solutions sont e ee ensuite etudi´ es. ´ e

I. E XEMPLES
1. Un premier exemple

´ ´ ´ ET R E SULTATS G E N E RAUX

Soient α un r´ el et fα la fonction x −→ eαx . e (a) R´ soudre l’´ quation diff´ rentielle (Ef1 ). Cette equation poss` de-t-elle des solutions e e e ´ e born´ es au voisinage de +∞ ? e (b) Ici on suppose que α = 1. i. R´ soudre l’´ quation diff´ rentielle (Efα ). e e e ` quel condition n´ cessaire