Concours National commun - Session 2011 - MP

Épreuve de Mathématiques I
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages. L’usage de la calculatrice est interdit. Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Étude de la somme d’une série de Fourier lacunaire quadratique La fonction q définie, pour tout x ∈ R, par q(x) =
∞ n=1

eiπn x iπn2

2

est étudie par Riemann il y a environ 150 ans, avec l’idée que cette fonction est continue sur R mais nulle part dérivable. L’étude est poursuivie par Hardy qui prouve en 1916 que cette fonction est non dérivable en tout x ∈ R\{Q}. Il reste à étudier la dérivabilité en x rationnel et c’est Gerver qui en 1970 réussit à trouver le résultat assez inattendu : la fonction est dérivable en tout x ∈ Q. Depuis, d’autres propriétés de cette fonction ont été étudiées, propriétés qui analysent plus finement la régularité de cette fonction : en particulier son ordre de Holder local et son spectre multifractal. Le sujet a pour objet d’établir la dérivabilité de la fonction q au point 1 ; il utilise des outils de l’analyse complexe. Le problème est composé de cinq parties ; les deux premières parties ont pour objectif d’établir la formule (2) qui sera utile dans la cinquième partie. Les trois dernières parties du problème s’enchaînent entre elles. 1ère partie Formule sommatoire de Poisson Soit g : R −→ C une application de classe C 1 telle que les applications t −→ t2 g(t) et t −→ t2 g (t), définies sur R, soient bornées à l’infini, ce qui revient à dire