METHODE DU PIVOT DE GAUSS
La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d’équations linéaires à n équations et p inconnues. Elle s’utilise notamment pour leur résolution numérique à l’aide d’un programme informatique, et permet la résolution de systèmes comptant un grand nombre d’inconnues et d’équations (plusieurs centaines, voire plusieurs milliers).
Dans tous les cas, la méthode du pivot de Gauss permet de déterminer si le système a des solutions ou non (et notamment de savoir s’il est un système de Cramer lorsque n = p). Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité dans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathématiques" (TLM1).
Lorque le système a des solutions, la méthode du pivot permet de les calculer. Notamment, si n = p et si le système a une solution unique (système de Cramer), on peut la calculer de manière beaucoup plus économique (en nombre d’opérations) que par les formules de Cramer. Lorsque la solution du système n’est pas unique, la méthode du pivot permet d’exprimer les solutions à l’aide des inconnues principales.

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Etude d’un exemple
Reprenons le système de l’exemple 4.8 de TLM1 (page 47), qui est un
8
< x + y + 2z = -1
2x - y + 2z = -4
(S)
:
4x + y + 4z = -2

système de Cramer :
(1)
(2)
(3)

On peut résoudre le système (S) en éliminant d’abord l’inconnue x dans les équations (2) et (3); ce qui peut se faire en multipliant l’équation (1) par 2 et en la soustrayant à l’équation (2), et en la multipliant par 4 et en la soustrayant à l’équation (3). Cela signi…e qu’on e¤ectue les opérations (2)
(2) - 2 (1) et (3)
(3) - 4 (1): On obtient le système équivalent :
8
(1)
< x + y + 2z = -1
(2)
-3y - 2z = -2
(S1 )
:
(3)
-3y - 4z = 2
On peut maintenant éliminer y dans la troisième équation équivalent :
8
< x + y + 2z
-3y - 2z
(S2 )
:
-2z

(3)

grâce à l’opération (3)
= -1
= -2
=4

(3) - (2): On obtient le système

(1)
(2)
(3)

Le système