THEME :
CONSTRUCTION D’UNE
BOITE
Quelles dimensions donner à une boîte ( sans couvercle ) réalisée à partir d’une feuille carrée afin que cette boîte soit de volume maximal ?

Exercice :( L’unité est le centimètre )
Dans une feuille carrée de carton ( 10 sur 10 ) , on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté.
a) Calculer, en fonction de x, l'aire du carré EFGH. ( x est compris entre 0 et 5 )

b) Calculer, en fonction de x, le volume de la boîte obtenue en découpant les quatre carrés situés aux coins, puis en pliant comme ci-contre.

c)Compléter le tableau suivant :

x

0

Aire

100

0

Volume

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

d) Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère en choisissant comme unités : axe des abscisses : 1 cm représente 0,5 cm axe des ordonnées : 1 cm représente 5 cm3.
Tracer, dans ce repère, les points d'abscisse x et d'ordonnée le volume correspondant, points obtenus à partir du tableau ci-dessus.
En utilisant ce graphique, déterminer un encadrement de x d'amplitude 1 afin que le volume ait une valeur maximale. 5
e)Calculer le volume de la boîte lorsque x =
.
3

Dans une feuille carrée de carton, on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté.

a) Calcul, en fonction de x, de l'aire du carré EFGH.
La longueur du côté du carré est 10 - x - x , soit 10 - 2x.
Par suite, l'aire du carré EFGH est :
( 10 - 2x )²
Aire du carré EFGH : ( 10 - 2x )² i r u b) Calcul, en fonction de x, du volume de la boîte :
La boîte est un parallélépipède rectangle ( encore appelé pavé droit ). Le volume d'un tel solide est

Le volume de la boîte est donc ( la hauteur de la boîte étant égal à x ) :

V = x( 10 - 2x)²

c)Tableau :
Il suffit de remplacer x par 0,5, puis par 1, puis par 1,5 , etc... dans les formules obtenues précédemment. Pour x = 0,5 , nous avons : ( le symbole de multiplication a été remplacé par un point afin d'éviter

toute