Math I Analyse
Epreuve final de contrôle continue, 19 janvier 2010
Durée 2 heures.
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Il est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction.
Question de cours (6 points)
1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass.
2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires
3. Enoncer le théorème des accroissements finis
Correction de la question de cours
1. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
2. Soit un intervalle de . Pour tout
, avec
, pour tout entre et (c’est-à] si
] si
[
] tel que dire dans [ ou dans [
), il existe
.
]
] et dérivable sur
3. Soit une fonction [
, avec
. On suppose que est continue sur [
] [. Alors il existe
]
[ tel que

Exercice (10 points) On considère les fonctions (polynômiales).
∑
Pour tout entier
. On définit aussi les fonctions pour tout soit (où désigne l’image de par la fonction exponentielle).
1.
(a) Montrer que la fonction

par

, quel que

a une limite en zéro que l’on déterminera.
(b) Montrer que est dérivable et que
.
(c) Déduire de ce qui précède et de la règle de l’Hospital (rappelée plus bas), que

2. Soit
.
(a) Montrer que est dérivable et que
.
(b) Montrer par récurrence que, pour tout entier
-ième est
.
(c) Déduire de ce qui précède, en appliquant

1

[

],

est

fois dérivable et que sa dérivée

fois la règle de l’Hospital, que

Règle de l’Hospital : si et et

sont deux fonctions continues sur un intervalle , dérivables sur

ne s’annule pas sur

{ }, si la fonction

{ }, telles que

a une limite finie en , alors la fonction

a aussi pour limite au point .
Correction
1. (a) Pour tout
(

)

Donc
(

)

(b) est la somme de fonctions définies, continues et dérivables sur
Donc
(c)

et

tendent tous les deux vers

lorsque

, donc

est dérivable sur

.

tend vers .

Lorsque d’après la question