´ METHODES ANALYTIQUES

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1.1

Bilan
Nombre d’inconnues, nombre d’´quations e

En ´lasticit´ lin´aire, et dans l’hypoth`se des petites perturbations, le nombre e e e e d’inconnues dans un probl`me de m´canique des milieux continus est ´gal ` e e e a 15. En effet, l’objectif est de d´terminer en chaque point du solide le vece → teur d´placement − (trois composantes), le tenseur des d´formations (six e u e composantes ind´pendantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes e ind´pendantes). e Pour r´soudre un tel probl`me, nous devons donc disposer de 15 ´quations. e e e Ces ´quations sont les trois ´quations d’´quilibre : e e e − → → − div(σ) + f v = 0 (1)

les six ´quations de compatibilit´ des d´formations (qui assurent que les e e e d´formations d´rivent d’un champ de d´placement sous la forme ij = 1 (ui,j + e e e 2 uj,i ) obtenues par le syst`me : e −→ − − → − → ∆( ) + grad(grad(tr( ))) = grad(div( )) + grad(div( ))t (2)

et les six ´quations de comportement reliant les contraintes aux d´formations e e sous la forme : σ = 2µ + λtr( )I o` le tenseur I repr´sente le tenseur identit´. u e e 1 (3)

On constate que les ´quations sont en fait des ´quations diff´rentielles. Leur e e e int´gration se fera donc ` une constante pr`s, qui sera d´termin´e ` l’aide e a e e e a des conditions aux limites en pression ou en d´placement : e − = − sur ∂Ω → → u U U − → − = → sur ∂Ω → − t = σ. n T T

(4)

1.2

M´thodes de r´solution e e

Il existe beaucoup de m´thodes de r´solution des ´quations pr´c´dentes. Toue e e e e tefois, les m´thodes dites ”semi-inverses” pr´sentent l’avantage de fournir des e e expressions analytiques pour les champs de d´placement, de d´formations et e e de contraintes dans le solide. Ce chapitre est consacr´ aux m´thodes semie e inverses, dans le cas de mat´riaux homog`nes, au comportement ´lastique e e e lin´aire et isotrope. De plus, nous n´gligerons les effets d’acc´l´ration (r´solution e e ee e statique). En effet, ces