Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. D’après le tableau de variations f est croissante puis décroissante, donc : • f ′ (x) > 0 sur ] − ∞ ; a[ ; • f ′ (x) < 0 sur ]a ; +∞[ ; • f ′ (a) = 0. 2.

5 points

a. Seuls les points de C 2 ont des ordonnées positives puis négatives, donc seule C 2 peut être la courbe représentative de f ′ . Donc C 1 est la courbe représentative d’une primitive F de f .

3.

b. C 2 coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse a ; d’après la figure 1 < a < 2. La tangente à la courbe C 2 représentative de F au point d’abscisse a a pour coefficient directeur F ′ (a) = f (a) = b ; d’après la figure ce coefficient directeur est supérieur à zéro. Conclusion f (a) = b > 0. a. Si g (x) = αx + β, alors g ′ (x) = α. On a donc : g (x) − 2g ′ (x) = x ⇐⇒ αx + β − 2α = x. Cette égalité est vraie quel que soit le réel x. En particulier pour x = 0, on a β − 2α = 0 ⇐⇒ β = 2α. Pour x = 1, on a α + β − 2α = 1 ⇐⇒ α = 1. Finalement α = 1 et β = 2α = 2. La fonction g définie sur R par g (x) = x + 2 vérifie l’équation différentielle.

b. La dérivée de la fonction f − g est la fonction f ′ − g ′ et 1 1 1 1 f ′ (x) − g ′ (x) = f (x) − x − 1 = ( f (x) − x − 2) = [ f (x) − (x + 2)] = [ f (x) − g (x)]. 2 2 2 2 1 La fonction f − g est donc une solution de l’équation différentielle y ′ = y. 2 c. On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par On a donc f (x) − g (x) = ke 2 x ⇐⇒ f (x) = ke 2 x + g (x) = ke 2 x + x + 2. 1 1 d. On a f ′ (x) = k × e 2 x + 1. 2 1 1 1 1 k 1 k 1 ′ On sait que f (0) = ⇐⇒ k × e 2 ×0 + 1 = ⇐⇒ + 1 = ⇐⇒ = − ⇐⇒ k = −1. 2 2 2 2 2 2 2 1 On a donc pour tout réel x, f (x) = x + 2 − e 2 x . x2 ; Une primitive de la fonction x −→ x est la fonction x −→ 2 Une primitive de la fonction x −→ 2 est la fonction x −→ 2x ;
1 1

x −→ ke 2 x , avec k ∈ R quelconque.
1

1

1

1

Une primitive de la fonction x −→ −e 2 x est la fonction x −→ −2e 2 x ;