PCSI II

Correction DL n˚1
Exercice 1

´
1. Etudions la fonction f : x →

x2
.
2(x−1)

f est une fonction fraction rationnelle d´efinie sur D = R \ {1}. En particulier f est d´erivable sur
D.
Soit x ∈ D, on a x2 x
−
x − 1 2(x − 1) x2 − 2x
=
2(x − 1)2

f (x) =

x(x−2)
Donc ∀x ∈ D f (x) = 2(x−1)
2
On en d´eduit le tableau des variations de la fonction f :

x −∞ f ′ (x)

0
−

+
0

+∞

+∞

2

1
−

+
+∞

f (x)

Rq

−∞

−∞

Asympt y = x2 + 12

cbe dessous

2
Asympt
y = x2 + 12 cbe dessus

Recherche des asymptotes ´eventuelles :
Je vous rappelle qu’une asymptote en +∞ est une droite d’´equation y = ax + b, telle que f (x) − ax − b tend vers 0 quand x tend vers +∞.
De fa¸con informelle, la courbe repr´esentative se rapproche de la droite quand x tend vers +∞.
S’il existe une telle droite, on a n´ecessairement a = lim f (x)
= 21 x x→+∞

Soit x ∈ D.
Calculons f (x) − 12 × x. x f (x) − 21 × x = 2(x−1)

Donc lim f (x) − 12 × x = 21 . x→+∞ On en d´eduit que f admet la droite d’´equation y = 12 x + 12 comme asymptote en +∞.
Pour faire une belle figure on cherche ´egalement la position de la courbe de f par rapport a` cette asymptote. 1
Pour x ∈ D, on a f (x) − 12 x − 12 = 2(x−1)

donc f (x) > 12 x +

1
2

pour x > 1, la courbe est donc au-dessus de son asymptote sur ]1, +∞[.

y

x

Remarque : la fonction f v´erifie la propri´et´e ∀x ∈ D f (2 − x) = 2 − f (x). Le graphe de f admet donc un centre de sym´etrie de coordonn´ees (1, 1). Nous aurions donc pu nous contenter de faire l’´etude et le trac´e sur ]1, +∞[ puis d’effectuer la sym´etrie centrale de centre (1, 1).
2. La courbe d’´equation y = x2 est une parabole. y Tb

Ta
B
A

x
C

Remarque : Pour les fonctions usuelles dont le graphe est connu, il n’y a pas `a refaire l’´etude, a moins que cela soit explicitement demand´e.
3. Soit A un point d’abscisse a ∈ R de la courbe P . D´eterminons l’´equation de la tangente Ta de P au point A.
La tangente T en un point x0 d’une fonction d´erivable f a pour ´equation T : y = f (x0 )(x −