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21/02/2014

Correction : Devoir surveillé : Géométrie analytique.

Exercice 1 :
1) On a : AB2

= (xB – xA)2 + (yB – yA)2
= (9 – (- 1))2 + ((- 2) – 0)2
= 102 + (- 2)2
= 100 + 4
= 104
D’où : AB = √104.
De la même manière, on a : BC = √72 et AC = √32.
On a : AB2 = BC2 + AC2 = 104.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2) On a :
(xB – xA ; yB – yA), soit
(10 ; - 2).
De plus :
(xD – xC ; yD – yC), soit
(10 ; - 2).
Donc :
=
.
ABDC est un parallélogramme.
3) On a : AE2

= (xE – xA)2 + (yE – yA)2
= ((- 5) – (- 1))2 + (4 – 0)2
= (- 4)2 + 42
= 16 + 16
= 32
D’où : AE = √32.
Or : AC = √32.
Donc : AE = AC.
E appartient donc bien au cercle de centre A passant par C.

Exercice 2 :
(xB – xA ; yB – yA) et
(2 – (- 1) ; 5 - 3) et (3 ; 2) et Donc :
=-5
. et sont donc colinéaires.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
On a :

(xD – xC ; yD – yC)
((- 11) – 4 ; (- 13) – (- 3))
(- 15 ; - 10)

Exercice 3 :
1) Voici la figure :

1/2

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Correction : Devoir surveillé : Géométrie analytique.

2) On a : A(1 ; 1)
3) On a :

Donc :
De plus :

B(1 ; 0)
(xE – xC ; yE – yC)
(xE – 0 ; yE – 0)
(xE ; yE)

C(0 ; 0) et et et et
D (0 ; 1).
(xD – xC ; yD – yC)
(0 – 0 ; 1 – 0)
(0 ; 1)

et et et

(xA – xD ; yA – yC)
(1 – 0 ; 1 – 1)
(1 ; 0)

(0 ; )
=

D’où :

xE = 0 et

yE =

E a donc pour coordonnées E(0 ; ).
On a :

Donc :
De plus :
D’où :

(xF – xD ; yF – yD)
(xF – 0 ; yF – 1)
(xF ; yF – 1)
( ; 0)
=
xF =

et

yF – 1 = 0

xF =

et

yF = 1

F a donc pour coordonnées F(
4) On a :

; 1).

(xF – xE ; yF – yE)
( – 0; 1 – )

et et (xB – xE ; yB – yE)
(1 – 0 ; 0 – )

( ;- )

et

(1 ; - )

On a : xy’ – x’y =

× (- ) - 1 × (- )

=-

+-

=0 et sont donc colinéaires.
Les points E, F et B sont alignés.
Exercice 4 :

1) On considère les points A et K de coordonnées A(2 ; 3) et K(- 1 ; 4). xI prend la valeur 2xK - xA = 2 × (- 1) – 2 = - 4 yI prend la valeur 2yK - yA = 2 × 4 – 3 = 5
2) L’objectif de cet algorithme est d’afficher les coordonnées de I,