Soit (x,z) les coordonnées d'un point M dans le repère et (X,Z) les coordonnées du même point dans le repère

En exprimant les vecteurs du nouveau repère en fonction des vecteurs du premier repère, on a :

On a donc . On en déduit

En remplaçant x et z par ces expressions dans l'équation de la section S, on obtient :

soit en développant les carrés et en réduisant

On reconnaît l'équation d'une hyperbole.
1) - M(x;y;z) est un point de T donc x²+y²=z² - M(x;y;z) est un point de P donc y=2 - ainsi on à z²=x²+4 soit z=rac(x²+4) ou -rac(x²+4)

2a)- f est continue sur R tout entier et est pair.

- x->x² est décroissante de ]-inf,0] à valeur dans [O,+inf[ x->x²+4 est décroissante de ]-inf,0] à valeur dans [4,+inf[ x->rac(x²+4) est décroissante de ]-inf,0] à valeur dans [2,+inf[ donc f est décroissante de ]-inf,0] à valeur dans [2,+inf[ de donc f est croissante de [0,+inf[ à valeur dans [2,+inf[ de plus la limite en + ou - inf de f est +inf le mininum sur R de f est f(0)=2

2b)- pour x non nul f(x)/x = rac(x²+4)/x = rac(1+1/x²) tend vers 1 quand x tend vers +inf f(x) - x = rac(x²+4)-x tend vers 0 quand x tend vers +inf donc la droite d'équation z=x est asymptote à Cf en +inf par parité de f la droite d'équation z=-x est asymptote à Cf en -inf

2c)- on trace d'abord les deux asymptotes puis la tangeante horizontale en (0,2). ensuite on trace Cf en faisant bien attention a ce que la courbe Cf se rapproche indéfiniement de ses asymptotes. Il faut éviter des trajectoires tramblantes qui peuvent laisser supposer que vous n'avez pas saisi la signification de ce qu'est une asymptote.

- on optient Cg par symétrie par rapport à l'axe des abscisses,

- la courbe S est donc l'union de ses deux courbes Cf et Cg

3) - le repère est translaté par un vecteur OA on a donc pour S