TD PS 21 du mercredi de 16 h 30 à 19 h 30 Correction du contrôle n°4 Exercice 1 : 1/ On sait que la variation de l’énergie potentielle de pesanteur correspond à l’opposé du travail du poids. Calculons W P entre θ = 0 et θ :

 mg cos θ P  mg sin θ

 dOM rdθ.eθ θ donc δWP = P.dOM = -mgrsinθdθ



Entre θ = 0 et θ : WP =  mgr

 sin θdθ mgrcos θ  1 o θ Donc Uθ – U0 = – WP = mgr – mgrcosθ et Uθ = – mgrcosθ :  2/ Les positions d’équilibre correspondent aux valeurs extrêmes de l’énergie potentielle :

dU d cos θ  mgr mgr sin θ 0  θ = 0 ou θ = π dθ dθ
La stabilité se définit par étude la dérivée seconde de U :

d2U dθ2

mgr cos θ : elle positive en θ = 0 et négative en θ =

π : donc θ = 0 est un équilibre stable et θ = π est un équilibre instable. Exercice 2 : 1/ Il suffit de calculer :

cas. 2/ δW = Fx.dx + Fy.dy. Le chemin le plus simple pour aller de A à B correspond à la droite x = y (en ligne droite), donc dx = dy. L’intégrale de δW s’en trouve simplifiée puisque x = y. On trouve W = 12 J  3/ Comme la  force est conservative, n’importe quel chemin entre A et B donnera le même travail. Exercice 3 : 1/ Voir cours et fiche de rappels en TD. 2/ a) Référentiel terrestre considéré comme galiléen. Référentiel mobile lié à l’ascenseur, en translation à accélération constante par rapport au référentiel fixe, donc non galiléen. b) La 2ème loi de Newton dans le référentiel mobile impose de tenir compte de la force d’inertie d’entraînement :

 Fx Fy et . S’il y a égalité entre ces deux termes, alors la force est conservative. Ici c’est le y x

  d2z  P  fie m .ez dt 2   d2z   mg.ez  ma m .e 2 z dt

en choisissant un axe ascendant vertical. 

 mg  ma m

d2z dt 2



 (g  a) 

d 2z dt 2

En intégrant 2 fois on obtient : z(t) = 

c) On est dans le référentiel terrestre, seul le poids est à considérer :   On trouve V(t) = –g(t-3)+vi : Pour t < 3 s l’araignée est solidaire de l’ascenseur,