Corrigé de l'exercice
1. On a B(1; 0; 0), G(1; 1; 1) et E(0; 0; 1) donc
−−→
BG =
0
1
1
 et
−−→
BE =
−10
1

Montrons que les coordonnées ne sont pas proportionnelles :
0× y−−→
BG
= 0 = y−−→
BE
Alors que 0× x−−→
BG
= 0 6= x−−→
BE
On ne peut pas passer des coordonnées de l'un des vecteurs à l'autre en multipliant par un même nombre. Les coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs
−−→
BG et
−−→
BE ne sont pas colinéaires.
−→n =
 1
−1
1

−−→
BG.−→n = 0× 1 + 1× (−1) + 1× 1 = …afficher plus de contenu…

−−→
AM = 0 qui donne 1 × x + (−1) × y + 1 × z = 0 et �nalement x − y + z = 0 qui est une équation cartésienne du plan parallèle à (BGE) passant par A.
4. On a D(0; 1; 0), F (1; 0; 1) et H(0; 1; 1) donc
−−→
DF =
 1
−1
1
 et
−−→
DH =
0
0
1

Montrons que les coordonnées ne sont pas proportionnelles :
0× x−−→
DF
= 0 = x−−→
DH
Alors que 0× z−−→
DF
= 0 6= z−−→
DH
On ne peut pas passer des coordonnées de l'un des vecteurs à l'autre en multipliant par un même nombre. Les coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs
−−→
DF et
−−→
DH ne sont pas colinéaires.
−→
n′ =
1
1
0

−−→
DF.
−→
n′ = 1× 1 + (−1)× 1 + 1× 0 = 0
−−→
DH.
−→
n′ = 0× 1 + 0× 1 + 1× 0 = 0
−→
n′ est orthogonal aux deux vecteurs directeurs
−−→
DF et
−−→
DH du plan (DFH) donc
−→
n′ est …afficher plus de contenu…

BG, EG et BE correspondent aux diagonales des faces du carré.
BG = ‖
−−→
BG‖ =
√
02 + 12 + 12 =
√
2 et même pour EG et BE. Ce triangle est donc équilatéral.
Notons I le milieu de [EG], on a xI = xE+xG
2
= 1
2
, yI = yE+yG
2
= 1
2
et zI = zE+zG
2
= 1 donc
I(1
2
; 1
2
; 1)
La médiane (BI) du triangle BEG est aussi sa hauteur car le triangle est équilatéral.
−→
BI =
−1
2
1
2
1
 et BI = ‖
−→
BI‖ =
√
(−1
2
)2 + (1
2
)2 + 12 =
√
6
2
m
L'aire du triangle est aire base EG×hauteur BI
2
=
√
3
2
m2
9. Choisissons pour base de BEGD le triangle BEG. K est le projeté orthogonal de D sur le plan (BEG) donc KD est la hauteur du tétraèdre associée à cette base.
−−→
KD
= −1
3
2
3
−2