Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009
E XERCICE 1 Partie A : Étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours z′ 1. Comme y est dérivable sur [0 ; 30], z aussi et y ′ = − 2 ; on va remplacer : z   z(0) = 100 z(0) = 100 y(0) = 0, 01 ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ z′ ′  − z′ = −0, 5z + 0, 05 y = 0, 05y(10 − y) = 0, 05 (10 − ) z2 z z 2. a. z est donc solution d’une équation différentielle de la forme z ′ = az + b. Les solutions sont les fonctions définies sur [0 ; 30] par z(x) = ke−0,5x + 0, 1 avec k réel. Ainsi, z est définie par z(x) = 99, 9e−0,5x + 0, 1 1 . Enfin, y est définie par y(x) = −0,5x + 0, 1 99, 9e b. On veut y(30). 1 y(30) = ≈ 9, 99. Après 30 jours, 10 % de la population est infectée. 99, 9e−0,5×30 + 0, 1 Partie B : Étude sur l’efficacité d’un vaccin z(0) = 100 ⇐⇒ ke−0,5×0 + 0, 1 = 100 ⇐⇒ k = 99, 9 5 points

1. Notons M l’évènement « l’individu tombe malade »et V « l’individu est vacciné ». On a p(V) = 0, 25 ; p V M = 0, 92 et p(M) = 0, 1 V 0, 25 0, 92 M ET M 0, 75 V On veut p(M ∩ V). M M M V 0, 08 M 0, 1 V M V

p(M ∩ V) = p(V)p V (M) = 0, 25 × 0, 08 = 0, 02. p(M ∩ V) 0, 02 p M (V) = = = 0, 2 p(M ) 0, 1 p M V = 1 − p M (V) = 0, 8

Enfin, p M ∩ V = p(M) × p M V = 0, 1 × 0, 8 = 0, 08 2. On cherche ici p V (M) : p V (M) = p M∩V p V = 8 0, 08 = . 0, 75 75

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

E XERCICE 2 Partie A : Restitution organisée de connaissances Voir le cours pour les détails, voici la démarche : b b b

5 points

Par linéarité de l’intégrale (second rappel) : Or, pour tout x de [a ; b], f (x) Partie B 1. a f (x) dx a g (x) dx ⇐⇒

g (x), donc f − g

0 et le premier rappel assure le résultat.

a

( f − g )(x) dx

0.

a. f est la composée de la fonction x −→ −x 2 , décroissante sur [0 ; 1], suivie de la fonction exponentielle croissante sur R. f est donc décroissante sur [0 ; 1]. On peut bien sur argumenter sur la dérivabilité de f puis le signe de sa dérivée. 1 f (x) 1 On en déduit que, pour tout x de [0 ; 1], f (1) f (x) f (0) ⇐⇒