BTS IG EXERCICE 1 :
1)

CORRIGE DU SUJET 2010 (Métropole) MATHS I

A

B

C

D 2) Notons par 1, 2, 3 et 4 les sommets A, B, C et D. Par définition : mi , j = 1 si l’arc ( i; j ) existe, et mi , j = 0 sinon.
0 1 Compte tenu du graphe précédent, la matrice d’adjacence est donc : M =  1  0 2 0 3) M 2 =  0  1 1 1 0 0 0 1 . 0 0 0  1 0 0

0 0 1 2 1 0  . Un circuit est un chemin dont le premier et le dernier sommet sont identiques. 1 1 0  0 0 1

On ajoute alors les coefficients dans la diagonale de M 2 : 2 + 2 + 1 + 1 = 6 . Il y a donc 6 circuits de longueur 2. 4) a) On calcule la somme des coefficients de M 3 : 3 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 16 . Il y a donc 16 chemins de longueur 3. b) Dans la matrice M 3 , le coefficient placé à la 1° ligne et à la 2° colonne est 3. Il y a donc 3 chemins de longueur 3 reliant A à B. c) Il n’y a aucun circuit de longueur 3 puisque tous les coefficients de la diagonale de M 3 sont nuls. 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 3   et M [ ] =  5) a) M [ ] =  0 1 1 0 1 0 0 1     1 0 0 1 0 1 1 0  1 1 1 1   [2] ⊕ M [3] =  1 1 1 1 . b) M ⊕ M  1 1 1 1    1 1 1 1  1 1 1 1   [2] ⊕ M [3] . Donc : M =  1 1 1 1 . Or, on sait que : M = M ⊕ M  1 1 1 1    1 1 1 1

EXERCICE 2 :
Première partie
1) p ( A ) =

2)

25 = 0,25 p A = 1 − p ( A) = 1 − 0,25 = 0,75 100 a) p ( A ∩ I ) = p ( A) × p A ( I ) = 0,25 × 0,5 = 0,125 .

( )

p A ( I ) = 0,5

p A ( I ) = 0,1

b) p ( I ) = p ( A ∩ I ) + p A ∩ I = 0,125 + 0,75 × 0,1 = 0,2 . c) p ( A ∪ I ) = p ( A) + p ( I ) − p ( A ∩ I ) = 0,25 + 0,2 − 0,125 = 0,325 . d) p I ( A ) =

(

)

p ( A ∩ I ) 0,125 = = 0,625 . p(I ) 0,2

Deuxième partie 1) On répète 64 fois, de façon indépendante, le choix d’un élève ; chaque élève utilise quotidiennement un ordinateur avec une probabilité p = 0,5 , ou le contraire avec une probabilité q = 0,5 .
Le nombre X d’élèves utilisant quotidiennement l’ordinateur suit donc la loi