Terminale S

Juin 2011

Les diagonales [CG] et [DH] ont donc la même longueur ; le parallélogramme CDGH est donc un rectangle ; CQFD ! o Méthode 2 :

Amérique du Nord
Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ; u, v ) orthonormal direct. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle rB la rotation de centre B, d’angle

z H − zC h − c ( 3 − 3i )( −2 + 2i ) −6 + 6i + 6i + 6 3 3 − 3i 3 − 3i = = = = = = i z D − zC d − c ( −2 + i ) − 3i −2 − 2i 8 8 2

 z − zC  3  π donc CD; CH = arg  H  = arg  i  = ; 2  2  z D − zC 

(

)

π

π

2

, ,

Les côtés [CD] et [CH] sont donc perpendiculaires ; le parallélogramme CDGH est donc un rectangle ; CQFD !

2

rO la rotation de centre O, d’angle − Partie A On considère le point C d’affixe c = 3i.

π
2

.

On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d, g et h les affixes respectives des points D, G et H. 1. d = −2 + i : d est l’affixe de D qui est l’image de C par rA ; Or rA admet pour écriture complexe : z '− z A = e i π
2

( z − z A ) ⇔ z '− a = i ( z − a ) ⇔ z ' = i ( z − i ) + i = iz + 1 + i

;

Donc d = z D = izC + 1 + i = ic + 1 + i = i × 3i + 1 + i = −2 + i . 2. g et h : De même, g est l’affixe de G l’image de D par rB; Or rB admet pour écriture complexe : π 2

z '− z B = e

i

( z − zB ) ⇔ z '− b = i ( z − b ) ⇔ z ' = i ( z − ( 1 + i ) ) + ( 1 + i ) = iz + 2

;

Partie B On considère un point M, distinct de O et de A, d’affixe m. On appelle N l’image de M par rA, P l’image de N par rB et Q l’image de M par rO. On note n, p et q les affixes respectives des points N, P et Q.

Donc g = zG = iz D + 2 = id + 2 = i × ( −2 + i ) + 2 = 1 − 2i . h est l’affixe de H l’image de C par rO; Or rO admet pour écriture complexe : π 2

z '− zO = e

−i

( z − z0 ) ⇔ z ' = −iz

;

Donc h = z H = izC = −i × 3i = 3 (ou immédiatement