Chapitre 11

Chapitre 11.
Équations différentielles
Activités et applications

2. Équations du second ordre
(STI2D/STL SPCL)

1. Équations du premier ordre

Activité. Somme de deux solutions d’une équation différentielle linéaire

Activité. Solutions d’une équation différentielle 1. g(x) = cos 2x, g’(x) = – 2 sin 2x, g”(x) = – 4 cos 2x.
On a alors g”(x) + 4g(x) = – 4 cos 2x + 4 cos 2x = 0.
La fonction est solution.
2. Même calcul avec h.
3. k”(x) = g”(x) + h”(x).
Donc k”(x) + 4k(x) = g”(x) + h”(x) + 4g(x) + 4h(x) = 0. k est solution de (E).
4. Calcul identique. i est solution de (E).

1. x = 2 et x = 3.
2. Si f(x) = 2e–x + 4, f’(x) = – 2e–x, alors f’(x) + 2f(x) = – 2e–x + 2(2e–x + 4) = 2e–x + 8 ≠ 4.
La fonction n’est pas solution de l’équation différentielle.
Si f(x) = 2e–2x + 2, f’(x) = – 4e–2x, alors f’(x) + 2f(x) = – 4e–2x + 2(2e–2x + 4) = 4.
La fonction est solution de l’équation différentielle.
Si f(x) = e–2x + 4, f’(x) = – 2e–2x, alors f’(x) + 2f(x) = – 2e–2x + 2(e–2x + 4) = 8 ≠ 4.
La fonction n’est pas solution de l’équation différentielle.

Application
Les solutions de cette équation différentielle peuvent s’écrire f(x) = μ cos(2x) + λ sin(2x) où μ et λ sont réels.
De plus, f(0) = μ cos(0) + λ sin(0) = μ = 1.
D’autre part, f’(x) = – 2μ sin 2x + 2λ cos 2x donc f’(0) = 2λ = 0.
On trouve ainsi λ = 0 et μ = 1.
La fonction cherchée est définie par f(x) = cos 2x.

3. Si f(x) = 2e–x + 4x + 4 alors f’(x) = – 2e–x + 4. f’(x) + f(x) = – 2e–x + 4 + (2e–x + 4x + 4)
= 4x + 8 ≠ 4x.
La fonction n’est pas solution de l’équation différentielle.
Si f(x) = 2e–x – 4x – 4 alors f’(x) = – 2e–x – 4. f’(x) + f(x) = – 2e–x – 4 + (2e–x – 4x – 4)
= – 4x – 8 ≠ 4x.
La fonction n’est pas solution de l’équation différentielle.
Si f(x) = 2e–x + 4x – 4 alors f’(x) = – 2e–x + 4. f’(x) + f(x) = – 2e–x + 4 + (2e–x + 4x – 4)
= 4x.
La fonction est solution de l’équation différentielle.

Exercices d’entraînement
C

1 C On a f’(x) = 2x.
Ainsi, pour tout x réel, f’(x) × f(x) = 2x(x2 + 1) = 2x3 +