Corrigé du TD n° 1
Systèmes d’équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle
La méthode du pivot consiste à garder une équation intacte, qu’on appelle le pivot, et à éliminer une inconnue dans le reste du système en remplaçant chacune des autres équations par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot.
Si le reste du système contient plusieurs équations, l’opération doit être réitérée.
EXERCICE 1 — Les équations suivantes sont-elles linéaires ?
[1]
2x + yz = 3
[2] x² + 3y + 4z = 0
[3] 2x + 3y + 4z = 3
[4]
+ 3y = 2
[5] 1 – x + 3y – z + t = 0
Une équation linéaire est de la forme :
, où les termes ai et b sont des paramètres, les inconnues étant les xi, i = 1, …, n.
Il s’ensuit que les équations [3] et [5] sont linéaires, contrairement aux équations [1], [2] et
[4].
EXERCICE 2
1.


S1



.

L’ensemble des solutions de S1 est donc x1 = 1 et x2 = – 1, ce que l’on peut écrire sous la forme de la colonne :
.
2. Chacune des équations du système S1 est l’équation d’une droite. Généralement, deux droites se coupent en un seul point (le système a alors une solution unique), sauf dans le cas particulier où elles sont parallèles (auquel cas le système n’a pas de solution), voire confondues (auquel cas le système a une infinité de solutions).
Nous sommes donc ici dans le cas général où les deux droites se coupent en un seul point et où, en conséquence, le système a une solution unique.
EXERCICE 3
1. En général, l’intersection de trois droites est vide.


2. S2


(car les deux premières équations sont celles de S1)

.

Ce système a donc une solution si a = 3. En revanche, il n’en a pas pour toutes les autres valeurs de a.
3. Lorsque a = 3, le système S2 devient :

.

Si l’on applique la méthode du pivot à ce système, on obtient, en prenant L1 comme pivot et en remplaçant L2 et L3 par 3L2 = L1 et 3L3 – 2L1 respectivement :
.
En gardant alors

et en remplaçant

par 5

, il vient :
.

Comme 5