I] Inégalité triangulaire
1. propriété
Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit : Si A, B et C sont trois points non alignés alors on a : AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC

Exemple :
AB = 6 cm et AC + BC = 3 + 4 = 7 cm.
On a bien : AB < AC + BC

On a de même : AC < AB + BC car 3 < 6 + 4 BC < AB + AC car 4 < 3 + 6

Cas particulier :
Si le point C appartient au segment [AB] alors on a : AB = AC + BC
Inversement, si AB = AC + BC alors le point C appartient au segment [AB].

2. application : construction de triangles
Activité :
Construire les triangles ABC suivants : 1) AB = 6 cm ; AC = 5 cm et BC = 4 cm. 2) AB = 8 cm ; AC = 4 cm et BC = 3 cm. 3) AB = 8 cm ; AC = 5 cm et BC = 3 cm.

Méthode :
Pour vérifier si on peut construire un triangle, il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple :
Les triangles suivants sont-ils constructibles ? Si oui, le faire.
a) le triangle ABC tel que : AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 2 cm.
b) le triangle DEF tel que : EF = 2 cm ; DE = 6,5 cm et FD = 3 cm.
c) le triangle KLM tel que : KL = 5 cm ; LM = 2 cm et MK = 3 cm.

a) [AB] est le côté le plus long. On a : 4 + 2 = 6 et 5 < 6 donc le triangle ABC est constructible.

b) [DE] est le côté le plus long. On a 3 + 2 = 5 et 6,5 > 5 donc le triangle DEF n’existe pas.

c) [KL] est le côté le plus long et on a 5 = 3 + 2 donc le triangle KLM existe mais il est aplati. On ne le construit pas.

II] Constructions de triangles
On peut construire un triangle avec les instruments de géométrie dans les trois situations suivantes :

Remarque :
Dans les trois cas, le triangle construit est unique !
1. connaissant les longueurs des trois côtés
 poly à coller

Exemple : Tracer un triangle ABC tel que : AB = 4,8 cm ; BC = 3,4 cm et AC = 6