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1977 mots 8 pages

LE SECOND DEGRÉ
Exercice de motivation : un rectangle a pour périmètre P = 14m et pour aire S = 12m2. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? x Modélisation : Soient x et y les dimensions de ce rectangle, on a : y P x + y = = 7 et xy = S = 12 2 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit.

1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré. Exemples : x2 – 7x + 12 5x2 + 1 Contre-exemples : (a = 1 ; b = -7 ; c = 12) (a = 5 ; b = 0 ; c = 1) 4x2 (x + 1)(x + 2) (a = 4 ; b = 0 ; c = 0) peut s’écrire x2 + 3x + 2

2x + 1 est un binôme du premier degré 6x3 + 3x2 + 4x + 2 est une expression du 3ème degré (x – 1)2 – x2 est du premier degré.

Exercice : démontrer que si deux fonctions polynômes du second degré P et Q sont égales (sur ), alors leurs coefficients sont égaux. Notons P(x) = ax2 + bx + c et Q(x) = a'x2 + b'x + c'. Dire que les fonctions P et Q sont égales sur  signifie que pour tout réel x, on a : ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c' (S) En particulier, avec x = 0, on obtient immédiatement c = c'. L'égalité (S) devient alors : ax2 + bx = a'x2 + b'x a + b = a' + b' et a - b = a' - b' En ajoutant, puis en soustrayant, membre à membre ces deux égalités, on obtient : 2a = 2a' et 2b = 2b'. On a donc finalement : a = a' ; b = b' et c = c' En particulier, avec x = 1 puis avec x = -1, on obtient respectivement :

Les coefficients de P et Q sont donc bien égaux.

Définition 2 On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable x solution de l'équation du second degré : ax2 + bx + c = 0

Second degré

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Exemple : 3 est une racine du trinôme

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