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Cours complexes

917 mots 4 pages
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COURS De MATHEMATIQUES

1 NOMBRES complexes

1 Construction et définition des nombres complexes :

On appelle [pic] l'ensemble [pic] des couples de nombres réels muni des opérations internes suivantes : l On peut démontrer les propriétés fondamentales de ces opérations, que l'on déduira des propriétés de [pic].
1. Associativité de chacune des opérations :
[pic]
2. Existence d'un élément neutre pour chacune des opérations :
[pic]
3. Tout nombre complexe a un opposé pour l'addition , et tout nombre complexe différent de [pic] a un inverse pour le produit :
[pic]
4. Commutativité de chacune des opérations :
[pic]
[pic]
5. La distributivité est par ailleurs caractéristique de la structure de corps de [pic] :
[pic]
Ayant, selon le groupe, vérifié ou démontré tout ou partie de ces propriétés, on étudiera le produit :
[pic]
D'autre part,
[pic]

2 Plongement

On peut alors parler du plongement de [pic] dans [pic], en identifiant les nombres comme suit et en notant :
[pic]
Nous pourrons alors noter sous la forme que l'on appelle cartésienne :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Les calculs de sommes et de produits seront facilités par rapport à la définition initiale

2 Operations et proprietes des nombres complexes.

1 Opérations dans [pic]

1. Propriété fondamentale [pic]
1. Addition et multiplication
[pic]
2. Conjugué d'un nombre complexe [pic]
3. Module d’un nombre complexe [pic]
4. Cas d’un nombre réel [pic] Cette dernière égalité montre que le module est une extension de la valeur absolue des nombres réels.
5. Argument d'un nombre complexe [pic]
6. Propriétés [pic]
7. Exemples
[pic]
[pic]

1 Addition des nombres complexes, addition vectorielle et forme cartésienne.

Soient deux nombres complexes [pic] :
[pic]
Soient, dans un plan muni d'un repère orthonormé, M et M' les points de coordonnées [pic]et [pic] : on dit que M et M' ont respectivement pour affixes z et z'
Soit P le point d'affixe [pic] : on

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