Cours 3 / Master EEA

STRUCTURE ADDITIVE DE N
1. Généralités
1.1. Les deux grandes structures opératoires de N L'ensemble N est doté de deux grandes structures essentielles : la structure additive et la structure multiplicative. A la première, se rattachent non seulement les opérations d'addition et de soustraction, mais encore la relation d'ordre notée . A la seconde, se rattachent la multiplication, le quotient, la divisibilité et pour ainsi dire tout ce qu'on appelle l'arithmétique. La division euclidienne en fait également partie mais cette "opération" est en fait trop complexe pour ne pas empiéter également sur la structure additive. Pour l'instant, nous limitons cette étude aux nombres entiers naturels. Nous étudierons dans quelles conditions étendre cette structure additive aux nombres décimaux lors de l'étude de ces derniers. 1.2. La non séparation des deux opérations La structure additive englobe les deux opérations addition et soustraction, la seconde étant souvent considérée comme réciproque de la première. Cette étroite liaison de fait entre les deux opérations a des répercussions didactiques et pédagogiques. C'est vrai au niveau de leur introduction, mais aussi sur le plan technique et pour la résolution de problèmes.

2. Théorie de l'addition et de la soustraction
2.1. Approches possibles de l'addition Définitions, écritures, schémas La diversité des approches de l'addition tient d'une part au fait que l'on dispose d'au moins deux définitions des nombres (le cardinal et l'ordinal), et aussi à un choix possible entre deux attitudes que l'on peut opposer par les qualificatifs "statique" et "dynamique" (d'autres diraient "conceptuelle" et "procédurale"). Conception statique reposant sur le cardinal Il s'agit de faire le constat que les nombres peuvent être associés en "triplets additifs" du fait que tout ensemble non vide peut être considéré comme la réunion d'une de ses parties avec le complémentaire de cette partie. Exemples : alphabet