Module : ALG 3.
Déterminants

Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n:
I/ Formes n Linéaires Alternées
Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2
0
n
E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a :
0

0

f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ; :::xn = f (x1 ; :::; xi 1 ; xi ; xi+1 ; :::xn )+ f x1 ; :::; xi 1 ; xi ; xi+1 ; :::xn ii/ f fonction alternée, c’est à dire :
(9i; j 2 [[1; n]] tels que i 6= j et xi = xj ) ) f (x1 ; ::; xn ) = 0
Exemples :
1/ Une forme 1 linéaire (appelée forme linéaire) sur E; est une application f 2
L (E; K) :
2/ dans le cas : n = 2, l’application : f: R2 R2
! R
((x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 )) 7! x1 x2 + y1 y2

est une forme 2 linéaire (appelée forme bilinéaire) non alternée sur R2 .
3/ L’application : f: R2 R2
! R
((x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 )) 7! x1 y2

x2 y1

est une forme bilinéaire alternée sur R2 .
4/ Une forme 3 linéaire sur E est appelée forme trilinéaire.
Proposition 1 : Soit f une forme n linéaire sur E. Si f est alternée alors elle est antisymétrique (i.e. f est changée en son opposée lorsque l’on permute la place de deux vecteurs, en d’autres termes : f (x1 ; :::; xi ; :::; xj ; :::xn ) = f (x1 ; :::; xj ; :::; xi ; :::xn )).
Preuve :
Remarques 1 :
1/ Dans un corps K (où 2 6= 0 comme Z=2Z); la réciproque de la propositon 1 est aussi vraie. 2/ Il y’a une autre manière de formuler la proposition 1, pour cela nous aurons besoin d’introduire quelques dé…nitions et notations.
Notation : On note l’ensemble des bijections de [[1; n]] (où n 2 N ) dans lui même
(appelées ensemble des Permutations de [[1; n]]) par Sn .
1

Exemples :
1/ Pour n = 1, S1 = fIdg.
2/ Pour n 2, décrire S2 et S3 :
3/ Parmi les permutations de Sn (n
2), on désigne celle qui