Chapitre 1 :
Forme linéaire dualité dans les espaces vectoriels de dimension finie

E : un espace vectoriel de dimension finie sur K (K=R ou C)

I. espace dual
Rappel : ●On note Homk(E,F), l’ensemble des applications linéaires E→F. ● Homk(E,F) est un espace vectoriel, si on le muni des opérations suivantes : (à vérifier) - Si f,gЄ Homk(E,F) alors on note f+g l’application E→F x,y→f(x)+g(x) On voit facilement que f+g est lineaire, f+gЄ Homk(E,F). -Si Homk(E,F) et si λЄK alors on note E→F x→λf(x) On voit facilement que λf est linéaire càd λfЄ Homk(E,F). ●On note OЄ Homk(E,F) l’application linéaire O : E→F x→O

Définition : E* := Homk(E,K) (c’est un espace vectoriel) s’appelle l’espace dual à E. Ses éléments s’appellent des formes linéaires sur E. « qЄE* » signifie donc q :E→K linéaire

Exemple : Soit e=(e1,e2, … ,en) une base de E fixée . Si xЄE alors э λ1,…,λnЄK unique tq x=λ1e1+λ2e2+…+λnen λi dépend de x. Notons-le ei*(x) Alors l’application ei* : E→K est linéaire x→ei*(x) E n effet : -si x=λ1e1+…+λnen et x’=λ1’e1+…+λn’en alors x+x’=(λ1+λ1’)e1+(λ2+λ2’)e2+…+(λn+λn’)en Aussi ei*(x+x’)=ei*(x)+ei*(x’) -De même, on vérifie que ei*(λx)=λei*(x) On vient de définir n forme linéaire : e1*,…,en* Є E* à partir de e

Remarques : - ei*(x) est la i-eme coordonnée de x par rapport à la base e. - Pour e fixé, qЄE* et caractérisée par les valeurs q(e1),..,q(en) Pour q=ei*, on a ei*(ej)= 0 si j≠i 1 si j=i

(ej=0e1+0e2+…+1ej+0ej+1+…+0en) ei*(ej)=δij

Proposition : Soit e base de E Alors e*=(e1*,e2*,…,en*) est une base de E* On dit que e*est la base duale à e

Preuve : liberté de la famille {e1*,e2*,…,en*} Soit λ1,…,λnЄK et λ1e1*+ …+λnen*=0 (#) une relation de dépendance linéaire, alors en évaluant (#) en le vecteur ei, on obtient (λ1e1*+…+λnen*)(ei)=0(ei) Càd