I. Taux d'accroissement
Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 .
a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2.
b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ?
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a)
Le taux d'accroissement de f ente a et a+h est le rapport
.
h
Remarque : Si f représente la position d'un point mobile en fonction du temps, le taux d'accroissement mesure la
« vitesse moyenne » d'un point entre t = a et t = a+h.
La vitesse instantanée sera donnée par la ''limite'' de la vitesse moyenne lorsque h deviendra très proche de 0.
II. Nombre dérivé
Activité 2 : En continuant l'exemple précédent.
c) Quelle est la vitesse moyenne du point M entre les instants 2 et 2+h ? On l'appellera g ( h) .
Lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, g (h) prend des valeurs de plus en plus proches de 4. g (h)=4
On dit que la limite en 0 de g ( h) est 4. On note lim h→0 Définition : Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0 et l un réel. On dit que f (x ) tend vers l lorsque x tend vers 0 si f (x ) devient aussi proche que l'on veut de l dès lors que x est suffisamment proche de 0. g (x )=l
On dit que g admet l comme limite en 0 et on note lim x →0
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a)
Dire que f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0, le rapport va tendre vers h un nombre réel l. f (a+ h)− f (a)
=l .
On écrit alors lim h h→0
Vocabulaire/Notation : Ce nombre l est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f ' (a) .
Il se lit « f prime de a ».
Remarque : Le nombre dérivé représente donc la vitesse instantanée.
Exemple : Montrer que la fonction est dérivable en a et donner son nombre dérivé en a
3
2 f (x )=x et a =