Activité « Défaut d'orthogonalité » : Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.
1) Soit A(3;4) et B(-1 ; 1). Le triangle OAB est-il rectangle en O ?
2) Soit M(x ; y) et N(x' ; y') deux points distincts de O.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur OM² + ON² - MN² pour que OMN soit rectangle en O.
b) Exprimer OM² + ON² - MN² en fonction de x, y, x' et y'.
c) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur x, y, x' et y' pour que OMN soit rectangle en O.

⃗ et ON
⃗
Bilan : OM² + ON² – MN² mesure le « défaut d'orthogonalité » entre OM
→ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ←
Introduction : Norme d'un vecteur
⃗ .
Définition 1 : La norme d'un vecteur ⃗u , notée ∥⃗u∥ est la distance AB, où A et B sont deux points tels que ⃗u = AB

Remarque : On dit aussi que ∥⃗u∥ est la longueur de ⃗u .
Propriété 1 :

- Dans un repère orthonormé, le vecteur ⃗u de coordonnées (x ; y) a pour norme ∥⃗u∥=√ x2 + y 2
- Pour tout nombre réel k, on a ∥k ⃗u∥=∣k∣×∥⃗u∥

I) Définition et 1ère expression
1. Définition
1
2

2
2
2
Définition 2 : Le produit scalaire de ⃗u par ⃗v est le nombre réel noté ⃗u .⃗v défini par : ⃗u .⃗v = (∥⃗u∥ +∥⃗v∥ −∥⃗v −⃗u∥ )

1
2

⃗ . AC
⃗ = ( AB 2 + AC 2 −BC 2)
⃗ et ⃗
⃗ , alors AB
Remarque : Si on note ⃗u= AB v = AC

Propriété 2 : Pour tous vecteur u⃗ par v⃗ , on a que si ⃗u= ⃗0 ou ⃗v = ⃗0 , alors ⃗u .⃗v =0
Propriété 3 : Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls et colinéaires. Alors :
– Si ⃗u et ⃗v sont de même sens, alors ⃗u .⃗v =∥⃗u∥×∥⃗v∥
– Si ⃗u et ⃗v sont de sens contraires, alors ⃗u .⃗v =−∥⃗u∥×∥⃗v∥
2. Orthogonalité
Définition 3 : Dire que deux vecteurs ⃗u par ⃗v sont orthogonaux signifie que l'un des deux est nul ou que les droites portées par ces vecteurs sont perpendiculaires ;
- soit ⃗u = ⃗0 ou ⃗v = ⃗0 ;
⃗ et ⃗
⃗ avec ⃗ u et ⃗ v distincts de ⃗
- soit si ⃗u= AB v = AC
0 , alors ( AB)⊥( AC)
Remarque : On a donc que le vecteur nul est