I) Variations de fonction et signe de la dérivée
1) Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété 1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors
• si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≥0
• si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≤0
• si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)=0
2) Réciproque : du signe de la dérivée au sens de variation
Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors
• si pour tout x de I, f ' ( x)≥0 , alors f est croissante sur I.
• si pour tout x de I, f ' ( x)≤0 , alors f est décroissante sur I.
• si pour tout x de I, f ' ( x)=0 , alors f est constante sur I.
Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors
• si pour tout x de I, f ' ( x)> 0 , sauf éventuellement pour quelques valeurs de x où f ' s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
• si pour tout x de I, f ' ( x)< 0 , sauf éventuellement pour quelques valeurs de x où f ' s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.
Remarque : Différence entre les deux propriétés. f est une fonction définie sur [a;b], avec f ' (x )≥0 .

f ' ( x)> 0

f ' ( x)> 0 sauf en un nombre fini de

f ' ( x)≥0

points

II) Extremums d'une fonction
Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et x 0 dans I, alors f (x 0 ) est un maximum local de f sur I s'il existe J inclus dans I et contenant x 0 tel que, pour tout x de J,
•
f ( x)≤ f ( x0 ) f (x 0 ) est un minimum local de f sur I s'il existe J inclus dans I et contenant x 0 tel que, pour tout x de J,
•
f ( x)≥ f ( x0 )
Remarque : Pour un maximum (ou minimum) local, x 0 ne peut donc pas être une extrémité de l'intervalle I.
Propriété 4 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un réel de I.
Si f (x 0 ) est un extremum local de f , alors f ' (x 0 )=0
La courbe représentative de f admet donc une tangente horizontale au point d'abscisse x 0 .
Remarque : La réciproque est fausse ! Exemple