Fiche Cours

Nº : 32009

MATHEMATIQUES

Série S

Fiche 9 : Dénombrement
Plan de la fiche
I - Les listes
II - Arrangements
III - Permutations
IV - Combinaisons
V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement

I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).

Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste
Un triplet (a,b,c) est une 3-liste
Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.

(P, P, F, F ) ≠ (P, F, P, F )

Ne pas confondre avec les ensembles : {P, P, F, F} = {P, F} car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas plusieurs fois le même élément.
Dénombrement
Le nombre de p-listes prises parmi n objets est n p car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
Dans l’exemple précédent, il y a 24 = 16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble {P, F} .
Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9} car on tient compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.
Le nombre de codes est donc 104 = 10000.

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Nº : 32009

MATHEMATIQUES

Série S

II - Les arrangements p-arrangement E est un ensemble fini comportant n éléments (n entier, n ≥ 1) et p est un entier (p ≥ 1).

Un p-arrangement d’éléments de E est une p-liste d’éléments de E qui sont deux à deux distincts.