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GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Avant tout, rappelons une propriété fondamentale : Tout théorème de Géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace.

1 ) VECTEURS DE L’ESPACE
Les définitions et propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace. Comme dans le plan, à tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB .
ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI

Les exemples de ce chapitre se réfèrent au dessin ci-contre

Lorsque A B, la direction de AB est celle de la droite ( AB ) , le sens de AB est le sens de A vers B et la longueur ou norme de AB , notée AB , est la distance AB . Lorsque A = B , AA est le vecteur nul, noté 0 . On désigne souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u , v , w … Pour tout point O de l’espace et pour tout vecteur u , il existe un unique point A tel que OA = u .

VECTEURS EGAUX
Chacune des propriétés suivantes signifie que les vecteurs non nuls AB et DC sont égaux : AB et DC ont même direction, même sens et même norme. ABCD est un parallélogramme, c'est à dire [ AC ] et [ BD ] ont même milieu . ( Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD est un parallélogramme aplati )

REGLES DE CALCUL
Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. RELATION DE CHASLES : Ex : AB + BF = AD + DI = DE + KL =

REGLE DU PARALLELOGRAMME : Ex : DC + DJ = JN + JH = DC + DJ + DA =

OPPOSE D’UN VECTEUR : Ex : AB = JN + LG = a( u + v )=a u +a v , (a+b) u =a u +b u , a ( b u ) = ( a b ) u , au =0 a = 0 ou u = 0 etc …

MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN REEL : Pour tous réels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a :

VECTEURS COLINEAIRES
Deux vecteurs non nuls u et v qui ont la même direction sont dits colinéaires. Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires revient à dire qu’il existe un réel k tel