Cryptographie rsa
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25CRYPTANALYSE DE RSAAbderrahmane Nitaj Laboratoire de Math´matiques Nicolas Oresme e Universit´ de Caen, France e http://www.math.unicaen.fr/~nitaj nitaj@math.unicaen.fr c Version du 28 juin 2009
Table des mati`res e
Contenu Pr´face e 1 Introduction au cryptosyst`me RSA e 1.1 Principe de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.2 Le module RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les cl´s publiques et priv´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Envoi d’un message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´chiffrement d’un message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Signature d’un message . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 3 3 3 5 7 8 9
Preuve de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Un exemple d’utilisation de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 1.2.2 Transformation d’un texte en nombres . . . . . . . . . . . . . 12 L’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3
Cryptanalyses ´l´mentaires de RSA ee 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4
Cryptanalyse de RSA connaissant ϕ(N ) . . . . . . . . . . . . 15 Utilisation du mˆme module et deux exposants diff´rents . . . 16 e e Utilisation de modules diff´rents pour le mˆme message. . . . 18 e e Cryptanalyse de RSA si |p − q| < cN 1/4 : M´thode de Fermat e 21 25
2 Cryptanalyse de RSA par les fractions continues 2.1
Les fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 i
ii 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1
` TABLE DES MATIERES Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 D´finitions et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 e ee L’attaque de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 43
Cryptanalyse de RSA par les fractions continues . . . . . . . . . . . . 37
3 Cryptanalyse de RSA par l’algorithme LLL 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1