Chapitre 4

Dérivation
Ce que dit le programme :
CONTENUS
Dérivation
Nombre dérivé d’une fonction en un point.
Tangente à la courbe représentative d’une fonction dérivable en un point.

CAPACITÉS ATTENDUES

Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.

Fonction dérivée.
Dérivée des fonctions usuelles
1 et xn √x x (n entier naturel non nul).
Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient.

Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.
Extremum d’une fonction.

Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités.

COMMENTAIRES
Le nombre dérivé est défini comme limite du taux f (a+h)− f (a) d’accroissement quand h tend vers 0. h On ne donne pas de définition formelle de la limite.
L’utilisation des outils logiciels facilite l’introduction du nombre dérivé.
On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation.
Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est facilité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel.
Il est intéressant de présenter le principe de démonstration de la dérivation d’un produit.
Il n’est pas toujours utile de recourir à la dérivation pour étudier le sens de variation d’une fonction.
On traite quelques problèmes d’optimisation.

I. Nombre dérivé et tangente en un point
1.1) Taux d'accroissement
Définition 1.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a , x ∈I , x ≠a . On appelle taux d'accroissment de la fonction f entre a et b, le nombre réel : f ( x)− f (a) Δ y
=
x−a
Δx
C'est le coefficient directeur de la droite (AM) où A(a, f (a)) et M(x, f (x)).
Autre méthode :
Si on pose h= x −a alors x=a+h et Δ x=h .On a une deuxième définition :
Définition 2.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a∈ I . Soit h un nombre réel non nul tel que a+h∈I . On appelle taux d'accroissment de la fonction f f (a+h)− f (a) Δ y
=
entre a et