26/1/2015

Dérivées en Première ES

Dérivées

Savoir-faire :
Calculer un nombre dérivé à partir de la définition
Lire graphiquement un nombre dérivé
Tracer une tangente à la courbe représentative d'une fonction connaissant le nombre dérivé
Déterminer l'équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction
Calculer une dérivée à partir des formules de dérivation «usuelles»
Déterminer le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée

I - Nombre dérivé

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a et b deux réels appartenant à I .
On appelle taux d'accroissement de f entre a et b le nombre :

T=

f (b) − f (a) b−a Remarque
En faisant le changement de variable : b = a + h ( h représente alors l'écart entre b et a , ce taux s'écrit aussi
:

T=

f (a + h) − f (a) h Interprétation graphique

Le taux d'accroissement de f entre a et b est le coefficient directeur de la droite AB .

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a . http://www.maths­cours.fr/premiere­es/fonction­derivee 1/6

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Dérivées en Première ES

On dit que f est dérivable en a si et seulement si le rapport

f (a + h) − f (a) h tend vers un nombre réel

lorsque h tend vers zéro.
Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note f ′(a) .

Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction f : x ↦ x2 pour x = 1 .

f (1 + h) − f (1)

(1 + h)2 − 12

=

2h + h2

=2+h h h
Or quand h tend vers 0 , 2 + h tend vers 2; donc f ′(1) = 2 . h =

Interprétation graphique

Lorsque h se rapproche de zéro, le point B se rapproche du point A et la droite (AB) se rapproche de la tangente (T)

Propriété
Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentative Cf . f ′(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a .

Propriété
Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentative