Développements – Factorisations
Emilien Suquet, suquet@automaths.com

I Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
En cinquième vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : k×(c+d)=k×c +k×d
Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante :
( a + b ) × ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b
( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac + bc + ad + bd

Cette année, voici trois nouvelles relations, appelés identités remarquables :
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2
Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième
2
2
2
2
2
( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b
2
2
2
2
2
( a – b ) = ( a – b ) ( a – b ) = a – ab – ba + b = a – 2ab + b
2
2
2
2
( a – b ) ( a + b ) = a + ab – ba – b = a – b

II Développement – Factorisation
On appelle expression algébrique, une expression comprenant à la fois des nombres et des inconnues. ex : 2x + 5 – y et ( 3x – 4 ) ( 2x + 1 ) sont des expressions algébriques.
On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres. ex : 2 × ( 3 + 4 ) – 55 et ( 4 – 5 ) × 3 sont des expressions numériques.
Remarque : une expression numérique est aussi une expression algébrique.
On appelle somme algébrique, une expression algébrique ne contenant aucune parenthèse et écrite comme sommes ou différences d’expressions algébriques ex : 2x3

+ 4x – 1

4x5

–4

2x2

– 5x + 2
1

sont des sommes algébriques.
Troisième – Développements, factorisations

Développer une expression algébrique, c’est la transformer en une somme algébrique
Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit de sommes algébriques
Développement
k×(c+d)=k×c +k×d
( a + b ) × ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a – b )2 = a2 – 2ab