Mardi 4 janvier 2010.

Mathématiques. TS. 1 heure. Calculatrice interdite. Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z4 = (1 − i)² 1 z2 = 3 - i z5 = 3i + 4 3 - 2i z3 = 1 - i z6 = (3 + 2i)(1 + i)

Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i)

Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6)

Exercice 4 (3 pts) a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . b. En déduire sa forme algébrique. Exercice 5 (4 pts) Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives : a = −1 + i, b = 3 − i et c = −2 − i. → → a. Déterminer les affixes des vecteurs AB et AC b. Calculer AB et AC → → c. Déterminer une mesure de (AB ; AC). Peut-on en déduire la nature du triangle ABC ? → → d. Déterminer une mesure de l’angle orienté (u ; OA). Exercice 6 (2 pts) → → Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i| b. |z + 4 – i| = 2 Exercice 7 (2.5 pts) a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : − = − z. z b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z × z ' = z × z ' . Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué.
→ →

Corrigé du Test Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) = 3 – 3i – 2i – 2 = 1 – 5i 3 - 2i (3 - 2i)(1 + i) 3 + 3i - 2i + 2 5 + i z3 = 1 - i = (1 - i)(1 + i) = = 2 2 z5 = 3i + 4 = 4 – 3i Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5: |z1| = 5
cos(argz1) = -1 donc sin(argz ) = 0 
1

1 3+i 3+i z2 = 3 - i = (3 - i)(3 + i) = 10 z4 = (1 − i)² = 1 – 2i + i² = -2i z6 = (3 + 2i )(1 + i ) = (3 + 2i )(1 + i ) = z1

d’où arg z1 = π + 2kπ π d’où