Partie A Une urne contient n boules blanches (n dans N), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. 1. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches ? 2. On note p(n) la probabilité de tirer 2 boules de même couleur. a) Montrer que b) Calculer . . Interpréter ce résultat.

Partie B Pour les questions suivantes n = 4. 1. Calculer p(4) . 2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne. Un joueur effectue 2 tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les 2 boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage: - si les 2 boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, - si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain du joueur la différence , à l'issue des 2 tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif) . On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X . c) Calculer l'espérance de X .

Correction

Partie A: 1. L'univers est l'ensemble des combinaisons de 2

boules parmi n+8. Il y a n boules blanches parmi les (n + 8) boules donc le nombre de tirages de 2 boules blanches est : D'où : .

2. a) De même

Les événements "2 blanches" , "2 rouges" et "2 vertes" sont à intersection vide 2 à 2, on a alors:

d'où : b) . Si le nombre de boules dans l'urne est assez grand, on doit s'attendre à tirer 2 boules blanches avec une très forte probabilité. Partie B:. 1. 2. a) Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : 50 , 15 et -20 . On a : * "X = 50" si la personne tire 2 fois de suite des boules de même couleur (50 = -30 + 40 + 40) * "X = 15" si la personne tire 1 fois seulement des boules de même couleur (15 = -30 + 40 + 5)

* "X = -20" si la personne tire 2 fois de suite des boules de couleurs différentes (-20 =